Delay in der logistischen Gleichung

Um sich einen Eindruck zu verschaffen, welchen Einfluss die Einführung eines Delays hat, soll an dieser Stelle die logistische Gleichung als ein Beispiel betrachtet werden.

Die zeitdiskrete logistische Gleichung

$$x_{n+1} = \lambda x_n (1-x_n), \quad \lambda \in \reell$$ (55)

ist ein gut untersuchtes und gut verstandenes Standardbeispiel für ein nichtlineares System mit chaotischen Lösungen. Man findet bei ihr die charakteristischen Eigenschaften nichtlinearer Systeme. Über eine Periodenverdopplungskaskade führt sie für sukzessive Erhöhung des Parameters $\lambda$ ins Chaos ([16]).
Die kontinuierliche logistische Gleichung

$$\ddt x(t) = \lambda x(t) (1-x(t))$$ (56)

dagegen verhält sich völlig unchaotisch und monoton, denn für das Auftreten von Oszillationen in kontinuierlichen Systemen benötigt man ein System von mindestens zwei Differentialgleichungen erster Ordnung. Um chaotisches Verhalten zu beobachten, benötigt man mindestens drei ([13]). Eine Delaydifferentialgleichung ist nun im Prinzip unendlichdimensional, so dass auch bei nur einer abhängigen Variablen komplexes Verhalten und Chaos auftreten können.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Gleichung (B.2) zu einer Delaydifferentialgleichung zu erweitern. Eine von SAATY et al. in [32] untersuchte Form ist

$$\ddt x(t) = \lambda x(t) (1-x(t-\tau)), \quad \lambda \in \reell.$$ (57)

Laut SAATY kann diese Gleichung nun alle Verhaltensweisen nichtlinearer Gleichungen zeigen.

• monotones Verhalten wie bei der kontinuierlichen logistischen Gleichung ohne Delay für $\lambda \in (0,1/e)$
• Oszillieren um ein Gleichgewicht für $\lambda \in [1/e,\pi/2]$
• chaotisches Verhalten für $\lambda > \pi/2$

Diese Eigenschaften konnten mit dem hier verwendeten numerischen Löser gut nachgewiesen werden. Allerdings wurde bei den Rechnungen in dieser Arbeit kein Chaos, wie es von BAKER et al. beschrieben wurde, ,,nicht charakteristische Muster``, wie von SAATY et al. behauptet, für $\lambda > \pi/2$ gefunden, sondern periodische Schwingungen mit hohen Amplituden (vgl. Abb. B.1.

Abbildung B.1: Keine chaotische Schwingung für $\lambda > \pi/2$ bei einem Startwert von $x(0)=0.5$; entgegen den Angaben von SAATY.

Es wurde noch eine weitere, von (B.3) abweichende Form der kontinuierlichen logistischen Delaygleichung betrachtet:

$$\ddt x(t) = \lambda x(t-\tau) (1-x(t-\tau)).$$ (58)

Im folgenden sollen nun einige Eigenschaften dieser Gleichung untersucht werden. Wie die Abbildungen B.2 und B.3 zeigen ist bei einem Delay von $\tau = 0.01$ bei $\lambda = 1$ noch kein Unterschied zu sehen.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für sehr kleines Delay $\tau = 0.01$ (links) ohne Delay (rechts) bei $\lambda = 1$. Es ist kein Unterschied zu sehen.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für sehr kleines Delay $\tau = 0.01$ (links) ohne Delay (rechts) bei $\lambda = 4$. Es ist kein Unterschied zu sehen.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für sehr kleines Delay $\tau = 0.01$ (links) ohne Delay (rechts) bei $\lambda = 5.25$. Es ist kein Unterschied zu sehen.

Erhöht man nun das Delay auf $\tau = 0.5$, beginnt das System ein etwas komplexeres Verhalten zu zeigen. Die Abbildungen B.5 bis B.9 zeigen, dass die Lösung für wachsendes $\lambda = 1 \ldots 5.25$ zunächst monoton verläuft (Abb. B.5), sich dann langsam aufschaukelt (Abb. B.6 und B.7) und schließlich in ein periodisches ungedämpftes Verhalten übergeht (Abb. B.8 und B.9). Erhöht man $\lambda$ noch weiter divergiert die Lösung nach $-\infty$. Es wurde eine Art Phasendiagramm erstellt und in Abbildung B.10 dargestellt.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für $\lambda = 1$ und $\tau = 0.5$ (links) ohne Delay (rechts): monotones Verhalten (mit leichtem Überschwingen bei $t \approx 7$).

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für $\lambda = 2$ und $\tau = 0.5$(links) ohne Delay (rechts). Die Schwingung beginnt, ist aber noch sehr stark gedämpft.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für $\lambda = 3$ und $\tau = 0.5$ (links) ohne Delay (rechts). Die Dämpfung nimmt gegenüber Abbildung B.6 deutlich ab.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für $\lambda = 4$ und $\tau = 0.5$ (links) ohne Delay (rechts). Die Lösung schwingt periodisch mit $T\approx1.93$.

Abbildung: Lösung der logistischen Gleichung für $\lambda = 5.25$ und $\tau = 0.5$ (links) ohne Delay (rechts). Nicht sinusförmige, periodische Lösung mit $T\approx3.49$.

Abbildung B.10: Gestrichelt: $\lambda(\tau)$-Kurve, bei der das monotone Verhalten der Lösung endet. Durchgezogen: $\lambda(\tau)$-Kurve, oberhalb derer die Lösung divergiert. Somit umfasst der Bereich zwischen den Kurven sowohl den gedämpft schwingenden Lösungsraum als auch den Bereich, in dem periodische Lösungen auftreten. Im rechten Bild sind die Werte doppelt-logarithmisch aufgetragen. Der $\lambda$-Wert für den Beginn der Schwingung und der für den Beginn der Divergenz folgen also einem $1/\lambda$ Gesetz. Dies lässt sich sicherlich auch durch eine Stabilitätsanalyse von Gleichung (B.4) zeigen, ist jedoch nicht Ziel dieser Arbeit.