Erweiterung des Poincaré-Schnitts auf Delaydifferentialgleichungen

Abbildung: Zeitreihe (1), Poincaré-Schnitt bei festem t (2) und erweiterter Poincaré-Schnitt (3) für $\lambda = 3.0, 4.385, 4.45$.

(1)
(2)
(3)

HONG et al. haben in [15] eine Erweiterung des herkömmlichen Poincaré-Schnitts erarbeitet. Bei nichtlinearen Systemen dient die Poincaré-Abbildung dazu, die Dimension zu verringern, wodurch periodische Lösungen auf Fixpunkte abgebildet werden (s. [13]).

In Abbildung B.11 ist in der ersten Zeile eine Zeitreihe aufgetragen. Links sieht man deutlich eine periodische Lösung, bei der mittleren ist dieses schwierig und bei der rechten Abbildung mag man keine Prognose mehr geben. Man kann nun die Lösung des Systems gewissermaßen stroboskopisch beleuchten, indem man in festen Intervallen ein ganzes durch $\theta$ parametrisiertes Kurvenstück der Zeitreihe der Länge $\tau$ betrachtet. Wie man in Abbildung B.11 in der zweiten Zeile sieht, ist bereits für den sonst leicht zu erkennenden periodischen Fall keine eindeutige Aussage zu treffen, da im Allgemeinen $T\neq\frac{n}{m}\cdot\tau$. Würde man über einen noch längeren Zeitraum belichten, als es dort getan wurde, würde man eine mehr und mehr geschwärzte Fläche erhalten. Somit wäre keine Aussage über die Periodizität mehr möglich.
Die Idee von HONG et al. war es nun, nicht zu festen Zeiten sondern bei einem festen Wert der Lösung, wenn dieser in der selben Richtung durchschritten wurde, ein Kurvenstück aufzuzeichnen. Dies ist in der Abbildung B.11 in der dritten Zeile dargestellt. Nun erkennt man leicht die Periodizität der Lösung, indem man die Anzahl der gezeigten Kurvenstücke zählt. Links eine Periode-1, in der Mitte eine Periode-6 und ganz rechts eine offenbar chaotische (oder aber sehr hochperiodische) Lösung.

Die in der Abbildung gezeigte Funktion ist eine weitere Variante der kontinuierlichen logistischen Gleichung mit Delay:

$$\gamma \ddt x(t) = -x(t) + 1 - \lambda x(t-\tau)^2$$ (59)

mit $\gamma = 0.81$ und $\tau = 1$. Die Bilder wurden nicht aus [15] übernommen, sondern explizit nachgerechnet und bestätigen die Ergebnisse von Hong. Die Parameter bei der Rechnung waren $\lambda = 3$, $\lambda = 4.384$ und $\lambda = 4.45$. Bei $\lambda = 3$ findet man eine Periode-1-Lösung mit $T = 3.04$, bei $\lambda = 4.384$ eine Periode-6-Lösung mit $T = 19.2$ und für $\lambda = 4.45$ chaotisches Verhalten.

Weitergehend wurde hier in dieser Gleichung mit Parametern, die einem Bifurkationsdiagramm in [15] entnommen wurden, in Übereinstimmung mit dem Diagramm noch ein Periode-4 und ein Periode-2-Fenster gefunden. Abbildung B.12 zeigt die entsprechenden Bilder.

Abbildung: Zwei weitere Poincaré-Schnitte zu der Gleichung (B.5). Eine Periode-4 Lösung und eine mit Periode-2 bei $\lambda = 4.9$ $\lambda = 5.0$.

LOSSON et al. bezeichnen in [24]

$$\ddt x(t) = -\alpha x+\lambda x(t-\tau)(1-x(t-\tau))$$ (60)

als die logistische Delaydifferentialgleichung und liefern damit noch eine zusätzliche Variante. Sie zeigen, dass sie sogar empfindlich von der Initialisierungsfunktion $\Psi (t), -\tau \leq t < 0$ abhängt. Bei kleinen Variationen in der Initialisierungsfunktion können zwei verschiedene Attraktoren erreicht werden.