Einleitung ![$\textstyle \parbox{.60\textwidth}{\small \textit{I am chaos. \ I am the subs... ...rk \\ [.2\baselineskip] \textsc{Eris, Goddess Of Chaos, Discord \& Confusion}}$](img79.png)
Das Auge des Physikers beobachtet wunderschöne Strukturen.
In dem Gebiet, das in dieser Arbeit untersucht wird, sind das leuchtende, verästelte Strukturen von kleinen Gasblasen in einer ultraschall-durchströmten Flüssigkeit. Die Wechselwirkung zweier solcher Kavitationsblasen in einem Ultraschallfeld wird in dieser Arbeit sowohl analytisch als auch numerisch untersucht. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei auf den Einfluss einer zeitlichen Verzögerung, im Folgenden meist Delay genannt, im Kopplungsterm der Modellgleichungen gelegt. Die so für die Kavitationsblasendynamik gefundenen Ergebnisse können bei der Erklärung der Strukturbildung, die in akustischen Kavitationsblasenfeldern beobachtet wird, nützlich sein. In diesem Fall tragen die Kräfte zwischen den Einzelblasen wesentlich zur Dynamik des ganzen Systems bei.
Als akustische Kavitation bezeichnet man das Aufreißen einer
Flüssigkeit, wenn man Schall hoher Intensität durch sie schickt, wie
WERNER LAUTERBORN in [20] beschreibt. Die dabei entstehenden
Hohlräume nennt man Kavitäten oder (Kavitations-)Blasen. Er zeigt weiter,
dass ein solches System nichtlineare Eigenschaften hat.
Systeme, denen nichtlineare Bewegungsgleichungen zugrunde liegen, wurden bereits
Ende des letzten Jahrhunderts von HENRI POINCARÉ
untersucht, der sich für die Stabilität von Planetenbahnen interessierte.
Für solche Systeme gilt das Superpositionsprinzip im Gegensatz zu linearen
Systemen nicht mehr. Somit wird ihre analytische Behandlung erheblich erschwert. Er
fand heraus, dass die Langzeitvorhersage deterministischer Systeme auch ohne einen
stochastischen Einfluss unmöglich sein kann.
Es dauerte schließlich bis in die 60er Jahre dieses Jahrhunderts bis sich
wieder Forscher eingehender mit dieser Thematik beschäftigten. Da das Aufkommen
digitaler Rechenmaschinen ermöglichte, komplexe Systeme numerisch zu
untersuchen, weckten diese das Interesse der Forscher in bedeutendem Maße. Die
so entstandene ,,Chaosforschung`` wurde bald zu einer beliebten Disziplin, nicht nur
der Physiker.
EDWARD LORENZ stieß bei einer Simulation zur
Wettervorhersage zufällig auf ein wesentliches Charakteristikum nichtlinearer
Systeme: die sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Kleine
Abweichungen der Systemparameter ließen seine Simulationsrechnungen in eine
völlig andere Richtung laufen.
Dieses manchmal auch Schmetterlingseffekt genannte Phänomen lässt
also ein System unter Umständen bei sehr ähnlichen Anfangsbedingungen zwei
völlig verschiedene Entwicklungen nehmen. Wie LAUTERBORN zeigt
(s. [19]), folgen auch die
Schwingungen der Kavitationsblasen einer nichtlinearen Bewegungsgleichung. Sie
können die typischen Verhaltensweisen chaotischer Systeme zeigen, unter anderem
eben auch die sensitive Abhängigkeit von ihren Anfangsbedingungen.
An dieser Stelle setzt die Einführung eines Delays in das Kavitationsblasenmodell an. Die Blasendynamik wird durch nichtlineare Gleichungen beschrieben. Es ist also durchaus denkbar, dass der Einfluss einer zeitverzögerten Wechselwirkung zwischen den Blasen eine merkliche Änderung der Dynamik und damit der der Kräfte zwischen oszillierenden Blasen bewirken kann.
Zunächst wird in Kapitel 2 die Motivation dieser Arbeit aus dem Gebiet der Strukturbildung hergeleitet, und die wesentlichen Modellierungen werden vorgestellt. In Kapitel 3 wird eine linearisierte Form des verwendeten Blasenmodells betrachtet und auf den Einfluss des Delays hin untersucht, indem zwischen ungekoppelt und delay-gekoppelt schwingenden Blasen unterschieden wird. Kapitel 4 stellt die Ergebnisse der numerischen Simulationsrechnungen vor, denen das volle nichtlineare Blasenmodell zugrunde liegt. Das letzte Kapitel 5 zeigt anhand einiger ausgewählter Trajektorien der Blasenschwingungen Einzelheiten der Kavitationsblasendynamik, die Grenzen der Gültigkeit der Linearisierung. Im Anhang werden schließlich die Theorie der Delaydifferentialgleichungen sowie ihre numerische Behandlung vorgestellt. Dazu wird ein kleines Beispiel gegeben.
In dieser Arbeit wurde versucht, die neue deutsche Rechtschreibung umzusetzen. Wenn dieses nicht überall konsistent durchgehalten wurde, möge mir der Leser dieses verzeihen. Insbesondere die durch LATEXvorgenommene Worttrennung mag von der aktuellen Rechtschreibung abweichen.