Ausgewählte Trajektorien von Kavitationsblasen

Nachdem in den vorherigen Kapiteln der Schwerpunkt auf der sekundären Bjerkneskraft lag, werden nun einige Einzelheiten der Kavitationsblasendynamik betrachtet. Diese sollen den Hintergrund der sekundären Bjerkneskraft, die eigentliche Blasenschwingung, näher beleuchten und so Anhaltspunkte zur Erklärung des einen oder anderen Ergebnisses liefern. Es wurden noch mehr Effekte beobachtet, als letztlich hier vorgestellt werden. So fanden sich ,,super-resonante`` Blasenpaare, bei denen sich die Blasen gegenseitig aufschaukeln und die die großen Gebirge in Abbildung 4.9 erklären können. Diese werden hier jedoch nicht mehr besprochen, sondern werden in zukünftigen Arbeiten betrachtet werden. Für die drei verwendeten Modelle, deren Ergebnisse im Laufe dieser Arbeit vorgestellt wurden, werden einige Trajektorien von $R_j(t)$ gezeigt.
Das lineare Modell setzt in beiden Fällen eine kleine, harmonische Schwingung der $j$-ten Blase um ihren Ruheradius vorraus:

$$R_j(t)=R_{j0}+\hat{R}_j\cos(\omega t+\varphi_j).$$ (46)

Im ungekoppelten Fall, der in Abschnitt 3.1 genauer beschrieben wurde, ergeben sich $\hat{R}_j$ und $\varphi_j$ zu

$$\hat{R}_j = \frac{p_a}{\rho R_{j0}} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega_{j0}^2-\omega^2\right)^2+\left(\alpha_j\omega\right)^2}}$$ (47)

$$\varphi_j = \arg\left(\frac{\alpha_j\omega}{\left(\omega^2-\omega_{j0}^2\right)}\right),$$

während man diese Größen im delay-gekoppelt schwingenden Fall vermöge

$$\hat{R}_j = \left\vert x_j\right\vert$$ (48)

$$\varphi_j = \arg\left(\frac{\Im x_j}{\Re x_j}\right)$$

mit dem in Abschnitt 3.2 beschriebenen $x_j$ berechnet.
Die Schwingung des vollen nichtlinearen Modells ergibt sich aus der numerischen Simulation.

Die folgenden Abbildungen zeigen jeweils bei drei verschiedenen Drücken (von links nach rechts: $p_a=1\einh{kPa}$, $p_a = 10 \einh{kPa}$ und $p_a=100\einh{kPa}$, wie sie auch in Kapitel 4 verwendet wurden) die $R_j(t)$-Trajektorien einer Blase, wie sie sich nach den drei Modellen berechnen. Ganz oben sieht man das lineare, ungekoppelte Modell, darunter das lineare, gekoppelte und unten schließlich das nichtlineare Modell.

Eine Blase eines Blasenpaares mit Radien weit entfernt von ihrer Resonanz und nicht sehr unterschiedlich ( $100\einh{\mu m}$ und $123\einh{\mu m}$) wird in den Abbildungen 5.1 (für ein Delay $\tau = T/100$) und 5.2 ($\tau = T/10$) gezeigt. Dort ergibt sich unabhängig vom Delay eine gute Übereinstimmung beider linearer Modelle mit dem nichtlinearen Modell, solange der Schalldruck der Anregung nicht zu groß wird.

Abbildung 5.1: $R_j(t)$-Trajektorien bei $\tau = T/100$, $p_a=1\einh{kPa}$ (links), $p_a = 10 \einh{kPa}$ (Mitte) und $p_a=100\einh{kPa}$ (rechts) für einen Ruheradius weit entfernt von der linearen Resonanz bei $R_{10}=123\einh{\mu m}$. Die in $d = 0.75 \einh{mm}$ schwingende Nachbarblase hat einen Ruheradius $R_{20}=100\einh{mm}$. Gute Übereinstimmung beider linearer Modelle mit dem nichtlinearen Modell bei geringen Drücken.

Abbildung: Trajektorien bei $\tau = T/10$, $p_a=1\einh{kPa}$ (links), $p_a = 10 \einh{kPa}$ (Mitte) und $p_a=100\einh{kPa}$ (rechts) für einen Ruheradius weit entfernt von der linearen Resonanz ( $R_{10}=123\einh{\mu m}$). Nachbarblase: $R_{20}=100\einh{mm}$, in $d = 0.75 \einh{mm}$ Entfernung. Auch bei größerem Delay eine gute Übereinstimmung beider linearer Modelle mit dem nichtlinearen Modell bei geringen Drücken.

Abbildung 5.3 zeigt nun bei einem kleinen Delay von $\tau = T/100$ die nach den drei im Laufe der Arbeit betrachteten Modellen berechneten $R_j(t)$-Kurve einer Blase, deren Ruheradius mit $R_{10}=160\einh{\mu m}$ leicht neben der (linearen) Resonanz liegt. Die angekoppelte Blase, die mit $R_{20}=163\einh{\mu m}$, also recht genau am linearen Resonanzradius, angenommen wird, wird weiter unten gezeigt, in den Abbildungen 5.5 und Abb. 5.6. Der Abstand ergibt sich aus dem jeweiligen Delay.

Abbildung 5.3: Trajektorien bei $\tau = T/100$, $p_a=1\einh{kPa}$ (links), $p_a = 10 \einh{kPa}$ (Mitte) und $p_a=100\einh{kPa}$ (rechts). Der Ruheradius dieser Blase liegt mit $160\einh{\mu m}$ leicht neben der (linearen) Resonanz. In einer Entfernung von $d = 0.75 \einh{mm}$ liegt die Nachbarblase mit einem Ruheradius $R_{20}=163\einh{\mu m}$. Das ungekoppelte, lineare Modell liefert schon bei niedrigem Druck keine sehr gute Übereinstimmung, während das delay-gekoppelte, lineare Modell noch bei $p_a = 10 \einh{kPa}$ sehr gut mit dem nichtlinearen Modell einhergeht. Bei noch höherem Druck ergeben sich nach den linearen Modellen unphysikalische negative Blasenradien. Bei den Trajektorien des nichtlinearen Modells ist zu erkennen, dass der Zustand nicht vollständig eingeschwungen ist.

Es zeigt sich, dass das lineare Modell bereits bei einem sehr geringen Druck nicht sehr exakte Werte liefert, während die Voraussagen des linearen Modells, das die Delaykopplung mit einbezieht, sehr gut an den Werten des nichtlinearen Modells liegen. Es fällt sofort die fast entgegengesetzte Phase zwischen gekoppeltem und ungekoppeltem Modell auf. Bei den betrachteten Ruheradien dich bei der linearen Resonanz hat die Kopplung offenbar eine sehr große Wirkung. Die ungekoppelte Näherung liefert auch bei kleinen Drücken schon große Schwingungsamplituden. Bei höheren Druckwerten entstehen bei beiden linearen Näherungen negative Radien, was physikalisch nicht sinnvoll ist. Es fällt auf, dass die Trajektorien des nichtlinearen Modells nicht eingeschwungen sind. Tatsächlich ergibt sich für dieses Blasenpaar eine quasiperiodische Schwingung bei einer sehr langen Transiente bis zur nichtlinearen Sättigung. Die Schwingungsform, die sich für die Blase bei hohem Druck ergibt, lässt sich natürlich mit einer harmonischen Schwingung nicht mehr darstellen. Abbildung 5.4 zeigt die Blasenschwingung bei gleichem Druck, aber größerem Delay $\tau = T/10$. Auf den ungekoppelten Fall hat das Delay keinen Einfluss, doch die Amplitude stimmt mit dem nichtlinearen Fall jetzt besser überein. Bei $p_a = 10 \einh{kPa}$ schwingt die Blase im vollen Modell bereits nicht mehr harmonisch, so dass auch zum linearen, gekoppelten Modell ein Unterschied zu sehen ist. Dessen Amplitude trifft aber noch recht gut zu. Bei hohem Druck weichen beide lineare Modelle noch mehr vom nichtlinearen Modell ab, als das bei $\tau = T/100$ der Fall war.

Abbildung: Trajektorien bei $\tau = T/10$, $p_a=1\einh{kPa}$ (links), $p_a = 10 \einh{kPa}$ (Mitte) und $p_a=100\einh{kPa}$ (rechts) für eine Blase mit einem Ruheradius $R_{10}=160\einh{\mu m}$. Die Nachbarblase mit $R_{10}=163\einh{\mu m}$ schwingt in $d = 7.5 \einh{mm}$ Entfernung. Bei $p_a = 10 \einh{kPa}$ schwingt die Blase bereits nicht mehr harmonisch. Die Abweichung bei $p_a=100\einh{kPa}$ ist noch größer als in Abb. 5.3.

Die zweite Blase dieses Paares ( $R_{20}=163\einh{\mu m}$) wird in den Abbildungen 5.5 und 5.6, wieder für $\tau = T/100$ und $\tau = T/10$ gezeigt. Dort liefern beide lineare Modelle bei $\tau = T/10$ eine ähnlich gute Trajektorie, im Sinne einer guten Übereinstimmung mit dem nichtlinearen Modell, für $p_a=1\einh{kPa}$, während sie bei $p_a = 10 \einh{kPa}$ bereits negative Radien angeben. Bei $\tau = T/100$ liefert das delay-gekoppelte Modell dagegen für $p_a=1\einh{kPa}$ und $p_a = 10 \einh{kPa}$ noch gute Werte.

Abbildung 5.5: Trajektorien bei $\tau = T/100$ ( $d=0.70\einh{mm}$), $p_a=1\einh{kPa}$ (links), $p_a = 10 \einh{kPa}$ (Mitte) und $p_a=100\einh{kPa}$ (rechts) für die zweite Blase des Paares mit einem Ruheradius von $163\einh{\mu m}$ (sehr genau auf dem linearen Resonanzradius). Das ungekoppelte Modell liegt sehr weit neben den Werten des nichtlinearen Modells, dessen Zustand nicht richtig eingeschwungen ist; das delay-gekoppelte Modell beschreibt die Blasenschwingung gut für geringe Drücke.

Abbildung 5.6: Trajektorien bei $\tau = T/10$ ($7.5\einh{mm}$), $p_a=1\einh{kPa}$ (links), $p_a = 10 \einh{kPa}$ (Mitte) und $p_a=100\einh{kPa}$ (rechts) für die zweite Blase des Paares mit einem Ruheradius von $163\einh{\mu m}$. Gute Übereinstimmung aller drei Modelle bei sehr geringem Druck, aber die beiden linearen versagen bereits bei $p_a = 10 \einh{kPa}$.

Es zeigt sich also, dass die Blasenschwingung in der Nähe der linearen Resonanz stark von Kopplung und Delay abhängt. Dort sind auch die linearen Näherungen nicht mehr verlässlich, was nicht verwunderlich ist, schwingen die Blasen doch teilweise mit beträchtlichen Amplituden um ihren Ruheradius. Dass die Abweichungen des ungekoppelten Modells gegenüber den beiden delay-gekoppelten Modellen bei $\tau = T/10$ für die Blasen mit einem Ruheradius in der Nähe ihrer Resonanz größer sind, versteht man, wenn man die Abbildungen der Schwingungsamplituden in Kapitel 3.2.1 betrachtet. Bei kleinem Delay sind die Resonanzradien des gekoppelten Modells weit weg von den Resonanzradien des ungekoppelten Modells, während sie mit zunehmenden Delay immer näher rücken (vgl. Abb. 3.9 und Abb. 3.11), da der Einfluss der Kopplung mit zunehmenden Abstand abnimmt. Somit macht das ungekoppelte Modell in diesem Bereich bei kleinerem Delay einen größeren Fehler. Bei Ruheradien, die sehr weit von diesen bezüglich des Delays empfindlichen Bereichen liegen, wie es in Abbildung 5.1 und Abbildung 5.2 gezeigt wird, sind die Ergebnisse beider linearen Modelle ähnlich und in guter Übereinstimmung mit der nichtlinearen Theorie.

Es lässt sich also festhalten, dass das ungekoppelte, lineare Modell über weite Strecken annehmbare Ergebnisse produziert, aber andernorts das System der zwei Blasen völlig unzureichend modelliert. Das delay-gekoppelte und linearisierte Modell beschreibt das nichtlineare System, solange dies tatsächlich harmonisch schwingt, exakter.