Sekundäre Bjerkneskraft bei für die Strukturbildung relevanten Parametern

Nachdem nun die Vergleiche des vollen nichtlinearen Modells mit der linearen Näherung gezogen wurden, wird die Bjerkneskraft auch für solche Parameter berechnet, wie sie in der Strukturbildung tatsächlich auftreten. Wie in Kapitel 2 beschrieben wurde, liegt die Größenordnung der Ruheradien der an der Strukturbildung beteiligten Blasen im Bereich weniger Mikrometer. Daher wird hier nun ein Ausschnitt bei $1\einh{\mu m}\leq R_{j0}\leq 20\einh{\mu m}$ aus der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene gezeigt. Die Auswahl der berechneten Anregungsdrücke orientiert sich an den in [25] verwendeten: $112\einh{kPa}$, $116\einh{kPa}$, $120\einh{kPa}$, $124\einh{kPa}$ und $132\einh{kPa}$. Allesamt sind das Drücke, bei denen Strukturbildung beobachtet werden kann. Außerdem wurden hier nicht mehr die ganzen $\tau$-Serien aufgenommen, sondern nur noch für $\tau = T/100$ als sehr kleinem Delay, $\tau = T/10$ für ein weiteres und $\tau =T/4$, um den ,,unsymmetrischsten`` Punkt, wie er in Abschnitt 3.1.2 beschrieben wurde, zu betrachten. Die Auflösung der Abbildungen ist noch etwas geringer als dies in den vorherigen Abschnitten der Fall war. Daher treten die Interpolationseffekte deutlicher in Erscheinung.

In [25] wurde von METTIN et al. für instantan gekoppelte Blasen im Abstand von $1\einh{mm}$ bei obigen Anregungsdrücken und ansonsten identischen Parametern (s. Tabelle 2.1) der Bjerkneskoeffizient, der dort als

$$f_B=\frac{\rho}{4\pi}\aver{\dot{V}_1 \dot{V}_2}$$ (45)

definiert wurde, berechnet. Der $1/d^2$-Abfall der eigentlichen sekundären Bjerkneskraft wurde nicht beachtet, während hier die tatsächlichen Kräfte dargestellt werden. Die Vorzeichenmuster in dieser Arbeit sind aber ohne weiteres mit den Darstellungen aus [25] vergleichbar. Es zeigte sich dort, dass bei Drücken knapp über $100\einh{kPa}$ ein zur Winkelhalbierenden symmetrisches aber ansonsten sehr fein strukturiertes, fächerförmiges Muster sichtbar wird, in dem sich anziehende und abstoßende Kräfte bereits bei kleiner Änderung eines Ruheradius abwechseln. Mit wachsendem Anregungsdruck wachsen abstoßende Bereiche, die immer schärfer begrenzt sind. Für großen Anregungsdruck ($132\einh{kPa}$) zeigt das Bild einen sehr großen anziehenden Bereich, wenn beide $R_{j0}>2\einh{\mu m}$ sind. Falls ein Ruheradius größer als $2\einh{\mu m}$ ist und der andere kleiner, ergibt sich eine abstoßende Kraft, und falls beide kleiner als $2\einh{\mu m}$ sind, eine anziehende Kraft, deren Betrag nicht so groß ist wie der der Kraft bei $R_{10},R_{20}>2\einh{\mu m}$. Es wurde beobachtet, dass die Grenze der abstoßenden Bereiche, die im beschriebenen Fall von $p_a=132\einh{kPa}$ bei $R_{j0}\approx 2\einh{\mu m}$ liegt, für zunehmende Drücke von größeren Ruheradien (etwa $3\einh{\mu m}$ bei $p_a=120\einh{\mu m}$) zu kleineren Ruheradien geht.
Diese Ergebnisse lassen sich mit den im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Simulationsrechnungen, denen das volle nichtlineare, delay-gekoppelte System zugrunde liegt, zum Teil wiederfinden. Es zeigen sich aber auch ganz erhebliche Unterschiede zu den in [25] erzielten Ergebnissen, die im Folgenden vorgestellt werden.

Abbildung 4.25: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$ ( $d = 0.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=112\einh{kPa}$. Bis auf kleine Bereiche, wenn eine der Blasen einen kleinen Ruheradius hat, ist die Bjerkneskraft anziehend. Diese Geometrie der Vorzeichenverteilung findet sich bei METTIN et al. in [25] erst bei intensiveren Anregungen. Man beachte auch die Einheit der sekundären Bjerkneskraft: bei $\tau = T/100$ jedesmal $\einh{\mu N}$, sonst $\einh{pN}$.

Die Abbildungen 4.25 bis 4.27 zeigen die Bjerkneskraft sowie ihr Vorzeichen in gewohnter Manier bei einem anregenden Schalldruck von $112\einh{kPa}$. Entgegen den Ergebnissen in [25] ist das sich ergebene Muster in 4.25 bei $\tau = T/100$ jedoch nicht fächerförmig. Es ähnelt eher dem dort für hohe Drücke gefundenem. Weite Teile des dargestellten Bereichs sind anziehend, bis auf Gebiete, in denen einer der beiden Ruheradien etwa zwischen $2\einh{\mu m}$ und $3\einh{\mu m}$ liegt. Eine geringe Asymmetrie ist zu erkennen.

Abbildung 4.26: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$ ( $d = 7.5 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=112\einh{kPa}$. Eine mehr oder weniger zur Winkelhalbierenden symmetrische Verteilung der Vorzeichen bei stärkerer Kraft als bei $\tau = T/100$.

Die nächsten beiden Bilder 4.26 und 4.27 dieser Serie zeigen dann eine völlige Auflösung dieser Geometrie. Zunächst kann man bei $\tau = T/10$ noch eine gebrochene Symmetrie erkennen, ähnlich wie für $\tau =T/4$ zu erwarten. Bei $\tau =T/4$ jedoch ergibt sich in weiten Teilen eine abstoßende Kraft, mit einigen, keine erkennbare Symmetrie ergebenden, anziehenden ,,Inseln``.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$ ( $d = 18.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=112\einh{kPa}$. Ohne erkennbare Symmetrie verteilte anziehende Inseln in einer ansonsten abstoßenden $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene.

Die Sequenz für $p_a=112\einh{kPa}$ findet sich qualitativ auch in den nächsten Sequenzen für höhere Anregungsdrücke wieder. So ist in Abbildung 4.28 für $\tau = T/100$ die gleiche Symmetrie wie in Abbildung 4.25 zu erkennen. Es zeigt sich jedoch, dass der obere Grenzruheradius der abstoßenden Bereiche wie auch bei METTIN et al. zu niedrigeren Werten geht. Er liegt hier bei etwa $\einh{4\mu m}$. In Abbildung 4.29 erkennt man ein gegenüber Abbildung 4.26 nur geringfügig verändertes Muster, und in Abbildung 4.30 gibt es weniger anziehende Bereiche als bei einem anregenden Schalldruck von $p_a=112\einh{kPa}$.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$ ( $d = 0.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=116\einh{kPa}$. Die obere Grenze der abstoßenden Bereiche ist mit höherem Druck zu kleineren Ruheradien gewandert. Das ließ sich auch in [25] beobachten.

Abbildung 4.29: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$ ( $d = 7.5 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=116\einh{kPa}$. Ein ähnliches Muster wie in Abbildung 4.26.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$ ( $d = 18.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=116\einh{kPa}$. Wieder große abstoßende Bereiche, mit weniger anziehenden Inseln.

Bei einer weiteren Erhöhung der Anregung auf $p_a=120\einh{kPa}$ sinken die Ruheradien, die bei einem Delay von $\tau = T/100$ die abstoßenden Bereiche nach oben begrenzen weiter auf nun etwa $\einh{3\mu m}$, und die Felder sind schärfer begrenzt. Der höhere Druck bewirkt gewissermaßen eine Bereinigung der Vorzeichenstrukturen, wie auch in Abbildung 4.32 durch das weniger zerfurchte Muster und in Abbildung 4.33 mit weniger verteilten anziehenden Bereichen deutlich wird.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$ ( $d = 0.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=120\einh{kPa}$. Die obere Grenze der abstoßenden Bereiche ist auf etwa $\einh{3\mu m}$ gesunken und ist schärfer begrenzt.

Abbildung 4.32: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$ ( $d = 7.5 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=120\einh{kPa}$. Das Muster wirkt weniger zerfurcht. Der höhere Druck bewirkt eine Bereinigung der Vorzeichenstrukturen.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$ ( $d = 18.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=120\einh{kPa}$. Keine großartige Veränderung gegenüber dem Bild bei $p_a=116\einh{kPa}$, abgesehen davon, dass die anziehenden Bereiche weniger verstreut sind.

Die Tendenzen zu ,,aufgeräumteren`` Strukturen und kleineren oberen Grenzen im Fall $\tau = T/100$ setzen sich mit höheren Drücken weiter fort. Bei $p_a=132\einh{kPa}$ schließlich ist für $\tau = T/100$ nur noch ein sehr schmaler Streifen für Ruheradien kleiner als $1\einh{\mu m}$ (teilweise $2\einh{\mu m}$) anziehend, und für $\tau =T/4$ ebenfalls nur noch ein sehr kleiner Streifen bei sehr kleinem Ruheradius der ersten Blase anziehend. Bei $\tau = T/10$ wird die dargestellte $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene annähernd horizontal in der Mitte geteilt.

Abbildung 4.34: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$ ( $d = 0.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=124\einh{kPa}$.

Abbildung 4.35: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$ ( $d = 7.5 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=124\einh{kPa}$.

Abbildung 4.36: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$ ( $d = 18.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=124\einh{kPa}$.

Abbildung 4.37: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$ ( $d = 0.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=132\einh{kPa}$.

Abbildung 4.38: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$ ( $d = 7.5 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=132\einh{kPa}$.

Abbildung 4.39: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$ ( $d = 18.75 \einh{mm}$) und für hohen Anregungsdruck: $p_a=132\einh{kPa}$.

Es lassen sich also wie in [25] beobachten, dass es bei hohen Drücken abstoßende Bereiche in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene gibt, wenn eine der beiden Blasen klein ist, und dass die obere Grenze dieser Bereiche für zunehmenden Anregungsdruck gegen kleinere Ruheradien geht. Im Unterschied zu den Beobachtungen instantan gekoppelten Fall treten diese Bereiche jedoch bei kleinem Delay bereits bei weitaus geringeren Drücken auf. Eine weitere Entfernung der Blasen voneinander bewirkt eine massive Änderung der Vorzeichenverteilung. Da die Abweichung vom instantan gekoppelten Blasenmodell bei Delaywerten auftritt, die in einem Bereich liegen, wie er in der Strukturbildung beobachtet wird, darf man den Einfluss des Delays auf die sekundären Bjerkneskraft nicht vernachlässigen. Allen Ergebnissen ist gemeinsam, dass sie die Invarianz der Vorzeichenverteilung der Indexvertauschung brechen. Das schließt die Möglichkeit ein, dass die Delay-Kopplung für das Auftreten der Streamer, auf denen sich die Blasen in das Zentrum der Struktur bewegen, mitverantwortlich ist.