Sekundäre Bjerkneskraft bei hohem Druck

In diesem Kapitel werden die sekundären Bjerkneskräfte für Wechseldruckwerte studiert, bei denen Strukturbildung auftauchen kann. Typischerweise liegen die Anregungsdrücke dann über $100\einh{kPa}$ und die Blasenradien unter $10\einh{\mu m}$. Dennoch soll zunächst die bereits bekannte Serie von $\tau = T/100$ bis $\tau = T/2$ bei einem Druck von $100\einh{kPa}$ betrachtet werden, damit man einen Eindruck bekommt, welchen Einfluss die nichtlinearen Terme in der Keller-Miksis-Gleichung auf die sekundäre Bjerkneskraft besitzen. Die Untersuchungen für die tatsächlich relevanten Parameter werden im folgenden Kapitel 4.3 vorgestellt.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 0.75 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Ein sehr komplexes Muster, das mit den Vorhersagen der linearen Theorie (vgl. Abb. 3.1 und Abb. 3.13) nichts mehr und mit dem Verhalten für geringere Drücke (Abb. 4.1, Abb. 4.9) nur noch wenig gemeinsam hat. Gleich große Blasen ziehen sich auch weiterhin an.

Abbildung 4.17 zeigt bei $\tau = T/100$ ein völlig neues Vorzeichenmuster. Die im vorigen Abschnitt beobachtete Anziehung bei $R_{10}=R_{20}$ findet sich hier wieder, aber die komplexe Struktur der Abbildung ist so noch nicht aufgetreten. In dieser Konstellation, also bei hohem Druck, kleinem Delay und großen Blasen, lassen sich sehr viele Blasenpaare finden, in denen eine Kraft mit anderem Vorzeichen wirkt, als bei Blasenpaaren mit nur leicht veränderten Ruheradien. Abgesehen von ihrer physikalischen Bedeutung hat diese Abbildung einen wesentlich höheren ästhetischen Wert als beispielsweise Abbildung 4.18, die den Fall $\tau =T/50$ zeigt. Hier ist die Komplexität des Musters verlorengegangen, und es treten überwiegend anziehende Bjerkneskräfte auf. Lediglich falls der Ruheradius einer der beiden Blasen nicht wesentlich über $100\einh{\mu m}$ liegt, stoßen sich die Blasen gegenseitig ab.

Abbildung 4.18: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/50$, entspricht einem Blasenabstand von $d=1.5\einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Überwiegend anziehende Kräfte. Die Geometrie der Bjerkneskraftlandschaft hat sich sehr stark verändert. Vgl. Abb. 3.14, Abb. 4.2 und Abb. 4.10.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 7.5 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Ausschließlich anziehende Kräfte. Das Bjerkneskraftgebirge hat sich noch einmal stark verändert. Die Bjerkneskraft hängt also bei diesen Parametern stark von einem kleinen Delay ab. Vgl. mit Abb. 3.2, Abb. 3.15, Abb. 4.3 und Abb. 4.11.

Dass sich die Bjerkneskraftlandschaft beim Übergang zu $\tau = T/10$ noch einmal stark ändert, wobei die Kraft durchgehend anziehend wirkt, spricht zusammen mit der Konstanz dieser Struktur in den weiteren Abbildungen dafür, dass die sekundäre Bjerkneskraft bei solchen hohen Drücken sehr empfindlich von der Delaykopplung abhängt, wenn die Blasen nahe beieinander schwingen. Da bei der Strukturbildung Blasenabstände in Millimeterbereich beobachtet werden, was bei der Anregungsfrequenz $\nu=20\einh{kHz}$ einem $\tau\approx T/75$ entspricht, wird die gegenseitige Kopplung und das Delay also durchaus eine bedeutende Rolle bei der Modellierung der Strukturbildung spielen können. Dazu gilt es noch, die Stärke der resultierenden sekundären Bjerkneskraft gegen die der primären Bjerkneskraft abzuwägen. Dies ist jedoch nicht Gegenstand dieser Arbeit.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/5$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 15 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Kleiner abstoßender Bereich bei kleinen Ruheradien der zweiten Blase, soweit die hier noch erfasst werden. Vgl. auch mit den Abbildungen 3.3, 3.16, 4.4 und 4.12.

Bei $\tau = T/5$ in Abbildung 4.20 gibt es wieder einen kleinen abstoßenden Bereich bei kleinem $R_{20}$.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/4.1$, entspricht einem Blasenabstand von $d\approx 18.29 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Der abstoßende Bereich ist gewachsen. Vgl. auch mit den Abbildungen 3.4, 3.17, 4.5 und 4.13.

Abbildung 4.22: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 18.75 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Die Ebene ist bezüglich ihrer Vorzeichen (fast) wieder an der Winkelhalbierenden gespiegelt, wie es in allen vergleichbaren vorherigen Abbildungen (3.5, 3.18, 4.6 und 4.14) der Fall war.

Die Abbildungen 4.21 und 4.22 zeigen wieder etwas mehr Veränderungen im Vorzeichenmuster. Bei $\tau = T/4.1$ ist der abstoßende Bereich, der bei $\tau = T/5$ noch bei kleinen $R_{20}$ lag, stark gewachsen. Außerdem sind zwei Kämme im Gebirgsplot aufgetaucht, die sich auch in den folgenden Abbildungen dieser Serie wiederfinden und ausbreiten. Wenn das Delay auf $\tau =T/4$ gewachsen ist, findet man sogar die Winkelhalbierende als Vorzeichenwechsel wieder. Es gibt lediglich bei sehr großen Ruheradien einige Unregelmäßigkeiten und eine leichte Verschiebung zu größeren $R_{20}$.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/3$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 25 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Das Vorzeichen wechselt bei $\tau >T/4$. Der gesamte Bereich ist bei $\tau = T/3$ bereits abstoßend. Vgl. dazu die Abbildungen 3.7, 3.19, 4.7 und 4.15.

Die Abbildungen für $\tau = T/3$ und $\tau = T/2$ (4.23 und 4.24) zeigen, dass auch der Vorzeichenwechsel jenseits von $\tau =T/4$ bei hohen Drücken noch stattfindet: der gesamte dargestellte Bereich ist abstoßend.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/2$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 37.5 \einh{mm}$, und $p_a=100\einh{kPa}$. Wie bei $\tau = T/3$ ist auch hier der gesamte dargestellte Bereich abstoßend. Vgl. dazu die Abbildungen 3.8, 3.20, 4.8 und 4.16.