Sekundäre Bjerkneskraft bei geringen Drücken

Bei geringen Drücken $p_a$ von $1\einh{kPa}$ und $10\einh{kPa}$ erwartet man ein ähnliches Ergebnis wie von der linearisierten Keller-Miksis-Gleichung, da die Nichtlinearitäten hier noch nicht so stark zum Tragen kommen.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 0.75 \einh{mm}$. Der Schalldruck der Anregung beträgt $p_a=1\einh{kPa}$. Anziehende Kräfte für gleich große Blasen, aber sonst bei großen Ruheradien keine Anziehung entgegen den Ergebnissen der linearen Modelle (vgl. mit Abb. 3.1 und Abb. 3.13).

Die erste Serie von Abbildungen 4.1 bis 4.8 zeigt wie auch schon in Kapitel 3 die diesmal jedoch nach dem nichtlinearen Modell berechnete sekundäre Bjerkneskraft $F_{bj,nl}$ sowie ihr Vorzeichen für $\tau = T/100$, $\tau =T/50$, $\tau = T/10$, $\tau = T/5$, $\tau = T/4.1$, $\tau =T/4$, $\tau = T/3$ und $\tau = T/2$ zunächst bei einem anregenden Schalldruck von $1\einh{kPa}$ in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene.
Ein Problem der numerischen Simulation liegt bei Blasenparametern, die zu einer chaotischen Lösung führen oder aber eine sehr lange Einschwingphase haben, bis sich eine stabile Schwingung ergibt. Das Programm berücksichtigte dabei Lösungen mit einer Periodizität $\leq4$. In solchen Fällen ist es schwierig, die zeitliche Mittelung aus Gleichung (2.11) durchzuführen. Unter Umständen ist die sekundäre Bjerkneskraft in einem Intervall $[t_1=N\cdot T;t_2=(N+1)\cdot T]$ eine andere als in dem darauffolgenden $T$-Intervall. Daher ist zur Bewertung der Ergebnisse meist auch ein Blick auf die Einschwingzeiten notwendig. Die Ergebnisse sollten sich mit längeren Einschwingphasen nicht mehr substanziell ändern, um als ordentlich angesehen werden zu können.
Abbildung 4.1 zeigt die Situation für $\tau = T/100$. Die auffälligste Veränderung zu den Ergebnissen der linearen Theorie ist, dass sich zwar Blasen mit gleichem Ruheradius auch weiterhin gegenseitig anziehen, sich jedoch in bei großen Ruheradien abstoßen, sobald sie sich unterscheiden. Dies steht im Gegensatz zu den sekundären Bjerkneskräften, die sich aus der Linearisierung der Keller-Miksis-Gleichung ergeben haben. Dort stoßen sich gleich große Blasen erst bei einem Delay $\tau >T/4$ gegenseitig ab. Dieses spricht dafür, dass die Linearisierung der Keller-Miksis-Gleichung in dem Fall sehr kleinen Delays nicht gerechtfertigt ist. Einige Beobachtungen finden sich auch hier wieder. So bleibt die Verlagerung der Extremwerte der sekundären Bjerkneskraft sowie die Verschiebung der vorzeichenwechselnden Ruheradien zu höheren Werten ist zu erkennen.

Abbildung 4.2: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/50$, entspricht einem Blasenabstand von $d=1.5\einh{mm}$. Anregung mit $p_a=1\einh{kPa}$. Die Verschiebung der Ruheradien, bei denen das Vorzeichen wechselt, finden sich auch hier wieder wie in der linearen Näherung mit Kopplung (vgl. Abb. 3.14).

Bei $\tau =T/50$ in Abbildung 4.2 findet sich dagegen wieder das gewohnte Bild wie in der entsprechenden Abbildung 3.14. Die Grenzen der ausgezeichneten Flächen sind etwas ,,angeknabbert``, und durch eine hier benutzte Interpolation (es wurde nur ein Drittel der Daten berechnet, die beim linearisierten Modell vorhanden waren) etwas verschwommen. Am Rand der dargestellten Ebene lässt sich nicht mehr interpolieren, was dazu führt, dass dort die Felder gleichen Vorzeichens scharf begrenzt sind. Dies fällt nur bei genauem Hinsehen auf. Das Ergebnis stimmt gut mit dem aus Abbildung 3.14 überein bis auf einen kleinen Bereich in der Mitte, in dem eine (zur Winkelhalbierenden symmetrische) Unregelmäßigkeit sichtbar wird. Auch die Verschiebung der vorzeichenwechselnden Ruheradien zu höheren Werten gegenüber dem nicht gekoppelten Fall wird hier durch das volle Modell bestätigt, sowie die Entwicklung bei größerem Delay, die Annäherung an die nicht gekoppelten Werte in der Nähe von $160\einh{\mu m}$, bei $\tau = T/10$ in Abbildung 4.3.

Ein weiterer wesentlicher Unterschied in der linearen Näherung zwischen dem gekoppelten und dem ungekoppelten Fall ist das spätere Auseinanderdriften der abstoßenden Bereiche bei $\tau$-Werten näher an $T/4$. Auch dieses findet sich im nichtlinearen Modell bestätigt, wie man durch Vergleich der Abbildung 4.3 mit den Abbildungen aus der linearen Näherung 3.2 (ungekoppelt) und 3.15 (gekoppelt) feststellt.

Abbildung 4.3: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 7.5 \einh{mm}$, und einem anregenden Schalldruck $p_a=1\einh{kPa}$. Die Vorzeichenwechsel bewegen sich genau wie im linearisierten Modell mit Kopplung zu kleineren Ruheradien (vgl. Abb. 3.2 u. Abb. 3.15).

Abbildung 4.4: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/5$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 15 \einh{mm}$, und einem anregenden Schalldruck $p_a=1\einh{kPa}$. Wie im Fall der delay-gekoppelten, harmonisch schwingenden Blasen in Abb. 3.16 entfernen sich die Flächen gleichen Vorzeichens langsamer voneinander als in Abb. 3.3.

In den folgenden Abbildungen, die die Situation für $\tau = T/5$ bis $\tau = T/2$ zeigen, erkennt man das aus der linearen Theorie vorhergesagte Verhalten wieder. Lediglich einige kleine Unregelmäßigkeiten sind in den Bildern zu sehen, die zumeist den beginnenden Einfluss der Nichtlinearitäten wiederspiegeln. Sie ließen sich auch durch eine längere Einschwingphase nicht bereinigen, so dass man davon ausgehen darf, dass die weiterhin sichtbaren Effekte durch die Nichtlinearität hervorgerufen werden. Sie ändern jedoch nichts an der groben Struktur der Muster. Wie gewohnt erhält man für $\tau =T/4$ in Abbildung 4.6 die durch die Winkelhalbierende geteilte $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene (hier mit zusätzlichen Mustern in der Nähe des Vorzeichenwechsels) und bei $\tau = T/2$ die umgekehrten Vorzeichen.
Auch die mit zunehmendem Abstand schwächer werdende Kopplung, die sich in der Geometrie des Bjerkneskraftgebirges als eine Verlagerung der Spitzen zum zentralen Punkt und eine Dominanz der ,,Resonanzkämme`` wiederspiegelt, ist hier zu beobachten. Bei $\tau = T/100$ liegen die Gipfel noch bei hohen Ruheradien, bei $\tau = T/10$ bereits in der Nähe des Punktes, an dem beide Blasen einen Ruheradius beim Resonanzradius haben, wobei von außen die charakteristischen Kämme heranwachsen. Und bei allen größeren Abständen liegen die Extremwerte in der Mitte.

Abbildung 4.5: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/4.1$, entspricht einem Blasenabstand von $d\approx 18.29 \einh{mm}$. Die Anregung erfolgte in dieser Serie mit $p_a=1\einh{kPa}$ (vgl. Abb. 3.4 und Abb. 3.17).

Abbildung 4.6: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 18.75 \einh{mm}$, und dem anregenden Schalldruck $p_a=1\einh{kPa}$. Auch hier findet sich die ,,maximal gebrochene`` Symmetrie (im Sinne von Abschnitt 3.1.2). Nichtlinearitäten überlagern noch ein weiteres, feineres Muster über die Winkelhalbierende aus der linearen Theorie (vgl. Abb. 3.5 und Abb. 3.18.

Abbildung 4.7: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/3$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 25 \einh{mm}$, und dem anregenden Schalldruck $p_a=1\einh{kPa}$. Umdrehen der Vorzeichen für $\tau >T/4$ wie auch in den Abbildungen 3.7 und 3.19.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/2$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 37.5 \einh{mm}$, und dem anregenden Schalldruck $p_a=1\einh{kPa}$. Für größere $\tau$ wiederholt sich die Serie der Vorzeichenmuster mit der Periodenlänge $T$ wie in Abb. 3.8 (vgl. auch Abb. 3.20).

Die zweite Serie in diesem Abschnitt zeigt die Situation für die üblichen $\tau$-Werte bei einem anregenden Schallfeld von $10\einh{kPa}$. Es wird also der Fall betrachtet, bei dem die sekundären Bjerkneskräfte in der linearen Näherung in Kapitel 3 dargestellt wurden. Dieser Anregungsdruck liegt bei einem Druck, der die Linearisierbarkeit nicht mehr unbedingt gewährleistet. Damit ist die Möglichkeit gegeben, die Grenzen der Gültigkeit abzuschätzen. Es wurde gezeigt, dass für einen anregenden Schalldruck von $1\einh{kPa}$, der im linearisierten Modell qualitativ die gleichen Ergebnisse liefert wie ein höherer, da die Amplitude der Schwingung ja linear (vgl. Gl. (3.11) und Gl. (3.25)) und somit die sekundäre Bjerkneskraft quadratisch mit $p_a$ skaliert (vgl. Gl. (3.17), in der der Druck nur in den Amplituden beider Blasen je einmal auftaucht), die Ergebnisse aus der Linearisierung gut wiedergefunden werden konnten. Nun soll untersucht werden, ob sich das bei einem höheren Schalldruck immer noch ergibt. Die gezeigten Abbildungen sind also einerseits mit ihren Pendants aus der ersten Serie dieses Abschnitts zu vergleichen, um den Effekt, den der höhere Schalldruck bewirkt, zu studieren, andererseits mit denen aus Abschnitt 3.2.2, um den Einfluss der Nichtlinearitäten zu betrachten.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/100$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 0.75 \einh{mm}$, und bei einem anregenden Schalldruck von $p_a = 10 \einh{kPa}$. Es lassen sich die Ruheradien ablesen, bei denen sich das Vorzeichen der Kraft umkehrt. Diese liegen bei dem durch die lineare Theorie mit Kopplung bestimmten Wert: etwa $189\einh{\mu m}$ (vgl. Abb. 3.13). Für gleich große Ruheradien wirkt die sekundäre Bjerkneskraft immer anziehend, aber den abstoßenden Bereich der linearen Modelle für große Ruheradien findet man nicht mehr (vgl. auch Abb. 3.1 und Abb. 4.1).

Wie schon bei der ersten Serie ist das Ergebnis für sehr kleines $\tau = T/100$ erstaunlich, da die Verteilung der Vorzeichen so von der linearen Näherung abweicht, dass die Linearisierbarkeit des Problems hier nicht gerechtfertigt scheint. Die Form stimmt jedoch mit der aus Abbildung 4.1 sehr gut überein, wobei allerdings die Größendordnung der Kraft in einem Bereich bei sehr großen Ruheradien extrem zugenommen hat. Dabei gilt es zu beachten, dass sich die Blasen bei solchen Ruheradien auf solche Werte aufziehen, dass sie sich beinahe berühren. Somit darf keine sphärische Form mehr angenommen werden, was sowohl im Keller-Miksis-Modell als auch bei der Berechnung der sekundären Bjerkneskraft vorrausgesetzt wurde. Es wurden bei diesen Parametern auch Blasenpaare gefunden, die sich gegenseitig extrem aufschaukeln und somit für die starken Kräfte in diesem Modell verantwortlich sind. Die Lage der Vorzeichenwechsel stimmt dagegen recht gut mit denen aus Abbildung 3.13 überein (etwa $189\einh{\mu m}$). Sie hat sich durch den höheren Druck gegenüber der ersten Serie in diesem Abschnitt nicht verändert (vgl. Abb. 4.1).

Abbildung 4.10: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/50$, entspricht einem Blasenabstand von $d=1.5\einh{mm}$, und bei einem anregenden Schalldruck von $p_a = 10 \einh{kPa}$. Bei diesem Schalldruck findet der Vorzeichenwechsel bei niedrigeren Ruheradien statt, als das gekoppelte linearisierte Modell vorhersagt (vgl. Abb. 3.14), während die Ränder der Flächen gegenüber Abb. 4.2 als Folge des höheren Drucks weiter ,,ausfransen``. Das nichtlineare Verhalten der Blasen wird auch an dem Knick im Gebirgsplot sichtbar (überhängende Resonanzkurven). S. auch Abb. 4.2.

In Abbildung 4.10 liegen die Ruheradien, bei denen sich das Vorzeichen der sekundären Bjerkneskraft umkehrt bei niedrigeren Werten, als es das lineare Modell mit Kopplung angibt. Das ist insofern bemerkenswert als sich dieser Trend fortsetzt. Für $\tau = T/10$ liegen diese Werte sogar deutlich unter denen aus Abschnitt 3.2.2: unter $150\einh{\mu m}$ gegenüber mehr als $160\einh{\mu m}$. Dies ist ein Anzeichen für das Verlassen der linearen Näherung bei einem anregenden Schalldruck von $10\einh{kPa}$. Hinzu kommt, dass der Betrag der Kraft durchgehend höher ist. Wie bereits erwähnt kann der Betrag um Größenordnungen zunehmen, wenn die Blasenschwingung die lineare Domäne verlässt. Im Gebirgsplot der sekundären Bjerkneskraft in Abbildung 4.10 fällt zudem der starke Knick auf, der in Resonanzkurven (und die sekundäre Bjerkneskraft folgt diesen ja in weiten Teilen; s. Abschnitt 3.2.1) ein Zeichen für das Anwachsen einer Nichtlinearität ist. Genaugenommen hängen die Resonanzkurven hier über und es gibt zwei verschiedene stabile Lösungen (Hysterese; s. [21]).

Abbildung 4.11: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/10$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 7.5 \einh{mm}$, und bei einem anregenden Schalldruck von $p_a = 10 \einh{kPa}$. Die Vorzeichenwechsel liegen bei deutlich niedrigeren Ruheradien als in der linearen Näherung, denen bei einem anregenden Schalldruck von $p_a=1\einh{kPa}$ im nichtlinearen Modell noch gut entsprochen wurde (vgl. mit Abb. 3.2, Abb. 3.15 und Abb. 4.3)

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/5$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 15 \einh{mm}$, und $p_a = 10 \einh{kPa}$. Die Größenordnung der sekundären Bjerkneskraft stimmt gut mit der linearen Näherung überein, die Vorzeichenwechsel liegen jedoch wie in den Fällen $\tau =T/50$ bei niedrigeren Ruheradien. Die Geometrie der Vorzeichenverteilung bleibt weiterhin gut erhalten. (Vgl. Abb. 3.3, Abb. 3.16 und Abb. 4.4)

Abbildung 4.11 bei $\tau = T/10$ zeigt wieder die gewohnte Geometrie der Vorzeichenverteilung, bei allerdings kleineren vorzeichenwechselnden Ruheradien. Die nichtlinearen Effekte sind hier nicht ausschlaggebend. Gleiches gilt für Abbildung 4.12 bei $\tau = T/5$ und Abbildung 4.13 bei $\tau = T/4.1$.

Abbildung 4.13: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/4.1$, entspricht einem Blasenabstand von $d\approx 18.29 \einh{mm}$, und $p_a = 10 \einh{kPa}$. Diese Abbildung stimmt mit dem linearisierten gekoppelten Modell in Abb. 3.17 in bemerkenswerter Weise überein. Vgl. auch Abb. 3.4 und Abb. 4.5

Bemerkenswert ist weiterhin die sehr gute Übereinstimmung für $\tau = T/4.1$, also in einem Bereich, in dem sich die Vorzeichenmuster sehr schnell ändern, mit der Abbildung 3.17 aus Abschnitt 3.2.2.

Der Fall $\tau =T/4$, der in Abbildung 4.14 dargestellt ist, offenbart dann wieder eine Abweichung vom Ergebnis der linearen Näherung. Bei Ruheradien zwischen $100\einh{\mu m}$ und $130\einh{\mu m}$ biegt die Grenze der Flächen gleichen Vorzeichens ab und verlässt die Winkelhalbierende. Hier lassen sich nun auch Blasen finden, die sich bei gleichem Ruheradius gegenseitig abstoßen.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 18.75 \einh{mm}$, und $p_a = 10 \einh{kPa}$. Die Trennlinie biegt von der Winkelhalbierenden ab, so dass sich gleich große Blaasenpaare finden lassen, die sich gegenseitig abstoßen. Vgl. mit Abb. 3.16, Abb. 3.18 und Abb. 4.6

Abbildung 4.15: sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/3$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 25 \einh{mm}$, und $p_a = 10 \einh{kPa}$. Auch hier drehen sich die Vorzeichen für $\tau >T/4$ um, wie in Abb. 3.7, Abb. 3.19 und Abb. 4.7.

Die Abbildungen 4.15 und 4.16 zeigen dann wieder das erwartete Bild mit zu kleineren Ruheradien verschobenen Vorzeichenwechseln bei umgedrehtem Vorzeichen gegenüber der Verteilung für sehr kleines Delay.

Abbildung 4.16: Sekundäre Bjerkneskraft aus der nichtlinearen Simulation und ihr Vorzeichen bei $\tau = T/2$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 37.5 \einh{mm}$, und $p_a = 10 \einh{kPa}$. Vgl. mit Abb. 3.8, Abb. 3.20 und Abb. 4.8.