Ergebnisse

Zur Berechnung der sekundären Bjerkneskraft nach Formel (3.17) wurden $\varphi_j$ und $\hat{R}_j$ nach den Gleichungen (3.26) und (3.27) bestimmt, und in den Abbildung 3.13 bis 3.20 wurde der Betrag der sekundären Bjerkneskraft nach dem linearisierten, delay-gekoppelten Modell, $F_{bj,lk}$, aufgetragen. Der Anregungsdruck betrug wieder $p_a = 10 \einh{kPa}$ und die Anregungsfrequenz $\nu=20\einh{kHz}$.

Abbildung: Links: sekundäre Bjerkneskraft für den Fall gekoppelter Blasen bei harmonischer Schwingung und $\tau = T/100$, entspricht $d = 0.75 \einh{mm}$. Der anregende Schalldruck beträgt $p_a = 10 \einh{kPa}$. Rechts: Das Vorzeichen der sekundären Bjerkneskraft. Die Ruheradien, bei denen der Vorzeichenwechsel stattfindet, sind gegenüber dem nicht gekoppelten Fall erhöht (vgl. Abb. 3.1). Die Ruheradien, bei denen die sekundäre Bjerkneskraft sehr groß wird, liegen weit außen in der dargestellten Ebene, was man durch Vergleich mit der Abbildung 3.9 leicht versteht. Man beachte die Einheit der Kraft: $\einh{mN}$ in dieser und der nächsten Abbildung (3.14) statt $\einh{\mu N}$ wie in allen anderen Abbildungen in diesem Abschnitt.

In Abbildung 3.13 fällt sofort auf, dass sich die Ruheradien, bei denen in der sekundären Bjerkneskraft das Vorzeichen wechselt, zu höheren Radien verschoben haben. Bei $\tau = T/100$ liegen sie bei bei etwa $189\einh{\mu m}$. Eine Diskussion hierzu findet sich später in diesem Abschnitt. Da der Unterschied der Abbildungen 3.13 und 3.15 sehr groß ist, wurde noch ein weiterer Wert, $\tau =T/50$ in die Serie mit aufgenommen, um zu betrachten, wie sich die Bjerkneskraftlandschaft bei sehr kleinem Delay verändert.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie Vorzeichen bei $\tau =T/50$, entspricht $d=1.5\einh{mm}$. Hierzu gibt es keine vergleichbare Abbildung im ungekoppelten Fall, da sich dort zwischen $\tau = T/100$ und $\tau =T/50$ kaum etwas ändert. Hier jedoch liegen die Vorzeichenwechsel durch die geringere Kopplung bei doppeltem Abstand gegenüber Abbildung 3.13 wieder bei geringeren Ruheradien. Die Resonanzkämme wachsen von außen heran.

Abbildung 3.15: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie Vorzeichen bei $\tau = T/10$, entspricht $d = 7.5 \einh{mm}$. Die Situation gleicht beinahe der des ungekoppelten Falls aus Abbildung 3.2. Die Vorzeichenwechsel liegen bei leicht höheren Ruheradien (etwa $165\einh{\mu m}$ statt $163\einh{\mu m}$). Man erkennt auch das Verhalten der Resonanzradien, das in Abschnitt 3.2.1 betrachtet wurde, wieder. Durch die abnehmende Kopplung nähern sich die Muster einem Kamm beim Resonanzradius.

Was in Abbildung 3.15 weiter gegenüber Abbildung 3.2 auffällt ist, dass die ausgezeichneten Flächen, die jeweils das gleiche Vorzeichen der sekundären Bjerkneskraft anzeigen, noch nicht sichtbar auseinander gegangen sind. Dies wird auch in den darauffolgenden Abbildungen jeweils im Vergleich zum entsprechenden Bild aus Abschnitt 3.1.2 sichtbar. Das Intervall um $\tau =T/4$, in dem die Symmetrie sich plötzlich verliert und die Gebiete gleichen Vorzeichens sich schnell verlagern, ist kleiner geworden.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie Vorzeichen bei $\tau = T/5$, entspricht $d = 15 \einh{mm}$. Der Vergleich mit Abbildung 3.3 zeigt keinen Unterschied bei den Vorzeichenwechseln, die Flächen sind jedoch noch nicht so weit auseinander gedriftet. Die Kämme werden durch die größere Entfernung der Blasen flacher. Der Betrag der Kraft unterscheidet sich nicht mehr wesentlich vom ungekoppelten Fall.

Die Bilder für $\tau = T/5$ bis $\tau = T/2$ ähneln denen im Fall ungekoppelter Blasen. Im Bereich um $\tau =T/4$ ändert sich das Vorzeichenmuster sehr schnell und bei $\tau = T/2$ sind die Vorzeichen gerade umgedreht zu denen bei $\tau \approx 0$. Der Betrag der sekundären Bjerkneskraft ist bei sehr kleinem Delay größer als bei ungekoppelt schwingenden Blasen, was sich aber mit zunehmendem Abstand ändert. Der Vergleich mit den Abbildungen 3.9 bis 3.12 aus Abschnitt 3.2.1 erklärt die bereits angesprochene Verteilung der Extremwerte der sekundären Bjerkneskraft. Dort wurde die Amplitude $\hat{R}_j$ der $j$-ten Blase gezeigt, und es wurde festgestellt, dass dieses Muster durch die abnehmende Kopplung an Komplexität verliert und sich zu einem einfachen Kamm am Resonanzradius der jeweiligen Blase entwickelt. Dieses Verhalten bestimmt auch wesentlich die sekundären Bjerkneskraft-Gebirge, bei denen sich ein ähnliches Verhalten erkennen lässt. Während in der Abbildung 3.13 bei einem Delay von $\tau = T/100$ noch ein Muster zu sehen ist, in dem die auffälligen Gebiete von dem Punkt, an dem beide Blasen ihre Resonanzruheradien haben, entfernt sind, nähern sie sich für abnehmende Kopplung diesem Punkt immer mehr an. Die Kämme der sekundären Bjerkneskräfte bei den Resonanzradien werden immer deutlicher, bis sie durch die große Entfernung der Blasen stark abgeschwächt werden. Ein Vergleich der Abbildungen 3.13 bis 3.15 mit den Abbildungen 3.9 bis 3.11 zeigt eine deutliche Ähnlichkeit. Zunächst liegen die hohen Berge der Amplituden- Bjerkneskraft-Gebirge weit außen in der betrachteten Ebene, dann wandern diese Gipfel zum zentralen Punkt, an dem beide Blasen ihren Resonanzruheradius haben, und von außen wächst ein Kamm heran, der dann im dritten Bild dieser Sequenz die Struktur des Gebirges wesentlich bestimmt. Die Bilder für größeres Delay werden dann ebenfalls von diesem Kamm bestimmt. Der Einfluss der Kopplung hat gemäß seinem $1/d^2$-Abfall stark abgenommen.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie ihr Vorzeichen bei $\tau = T/4.1$, entspricht $d\approx 18.29 \einh{mm}$. Der obere abstoßende Bereich ist bei weitem noch nicht so weit aus dem dargestellten Ausschnitt der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene gewandert wie in Abbildung 3.4.

Abbildung 3.18: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie ihr Vorzeichen bei $\tau =T/4$, entspricht $d = 18.75 \einh{mm}$. Die Symmetrie der instantan wechselwirkenden Blasen ist ,,maximal gebrochen`` (vgl. Abb. 3.5).

Abbildung 3.19: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie ihr Vorzeichen bei $\tau = T/3$, entspricht $d = 25 \einh{mm}$. Zu Abbildung 3.7 ist kein Unterschied in der Verteilung der Vorzeichen zu erkennen.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft für delay-gekoppelt schwingende Blasen wie in Abbildung 3.13 sowie ihr Vorzeichen bei $\tau = T/2$, entspricht $d = 37.5 \einh{mm}$. Wie in Abschnitt 3.1.2 ist auch hier das Vorzeichen gegenüber der ersten Abbildung der Serie (3.13) umgedreht. Für größere $\tau$ wiederholt sich die ganze Serie wie in Abbildung 3.8 beschrieben.