Theorie

Etwas allgemeiner als in Gleichung (3.2) lautet die linearisierte Keller-Miksis-Gleichung:

$$\ddot{R}_j' + \alpha \dot{R}_j' + \omega^2 R_j' = -\frac{1}{\rho R_{j0}} p_{ex}\;,$$ (35)

wobei $p_{ex}$ äußere Wechseldruck ist. Es wird auch hier wieder die komplexe Schreibweise verwendet. Somit gilt für den anregenden Druck der zweiten Blase (s. Abschnitt 2.1 für den neu hinzugekommenen Kopplungsterm):

$$p_{ex} = p_a \ehoch{i\omega t}+\frac{\rho}{d} \ddt \left( R_{1\tau}^2\dot{R}_{1\tau} \right).$$

Die linearisierte Keller-Miksis-Gleichung mit Kopplung für die zweite Blase im Abstand $d$ von der ersten lautet also:

$$\ddot{R}_2' + \alpha_2\dot{R}_2'+\omega_{20}^2R_2' = -\fra... ...R}_{1\tau}^2 + R_{\tau1}^2 \ddot{R}_{1\tau} \right) \right].$$ (36)

Schwingt nun die erste Blase sinusförmig mit kleiner, reeller Auslenkung $\hat{R}_1$ und mit einer Phase $\varphi_1$ zum anregenden Schallfeld,

$$R_1(t) = R_{10} + \hat{R}_1 \ehoch{i\varphi_1} \ehoch{i\omega t},$$

so gilt mit einem weiteren Phasenfaktor $\ehoch{-i\omega\tau}$ durch die endliche Laufzeit des Schalls am Ort der zweiten Blase

$$\left(2R_{1\tau}\dot{R}_{1\tau}^2+R_{1\tau}^2\ddot{R}_{1\tau}\right) = - \hat{R}_1\left(R_{10}^2\omega^2\ehoch{i\varphi_1}\ehoch{-i\omega\tau} \ehoch{i\omega t}\right)$$

$$- \hat{R}_1^2\left(4R_{10}\omega^2\ehoch{2i\varphi_1}\ehoch{-2i\omega\tau} \ehoch{2i\omega t}\right)$$

$$- \hat{R}_1^3\left(3\omega^2\ehoch{3i\varphi_1}\ehoch{-3i\omega\tau} \ehoch{3i\omega t}\right).$$ (37)

Bis auf Terme höherer Ordnung in $\hat{R}_1$ hat nun Gleichung (3.19) die Form

$$\ddot{R}_2' + \alpha_2\dot{R}_2'+\omega_{20}^2R_2' = -\fra... ...h{i\varphi_1}\ehoch{-i\omega\tau} \ehoch{i\omega t} \right).$$ (38)

Die Schwingung von $R_2$ ist ja ebenfalls sinusförmig um ihren Ruheradius angenommen:

$$R_2(t) = R_{20} + \hat{R}_2 \ehoch{i\varphi_2} \ehoch{i\omega t}.$$

Einsetzen in (3.21) und Umstellen liefert:

$$\hat{R}_2\ehoch{i\varphi_2}\gamma_2 = \beta_2+\delta_2 \ehoch{i\varphi_1}\hat{R}_1$$ (39)

$$\text{mit}$$

$$\gamma_2 = \omega_{20}^2-\omega^2+i\alpha_2\omega$$

$$\beta_2 = -\frac{p_a}{\rho R_{20}}\;,$$

$$\delta_2 = \frac{R_{10}^2\omega^2}{dR_{20}}\ehoch{-i\omega\tau}\;.$$

Mit $x_j = \hat{R}_j\ehoch{i\varphi_j}$ erhält man nun für beide Blasen das Gleichungssystem

$$x_1\gamma_1 = \beta_1 + \delta_1 x_2\;,$$

$$x_2\gamma_2 = \beta_2 + \delta_2 x_1\;,$$ (40)

wobei $\gamma_1$,$\beta_1$ und $\delta_1$ analog zu $\gamma_2$,$\beta_2$ und $\delta_2$ mit vertauschten Indizes definiert sind. Die Lösung ist:

$$x_1 = \frac{\beta_1\gamma_2+\beta_2\delta_1}{\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2}\;,$$

$$x_2 = \frac{\beta_2\gamma_1+\beta_1\delta_2}{\gamma_1\gamma_2-\delta_1\delta_2}\;.$$ (41)

Also ist

$$x_1=\frac{p_a}{\rho} \frac{-\frac{1}{R_{10}} \left(\omega... ...ight) -R_{10}R_{20}\frac{\omega^4}{d^2}\ehoch{-2i\omega\tau}}$$ (42)

und $x_2$ entsprechend.

Aus $x_1$ und $x_2$ wurden numerisch die Phasen $\varphi_j$ vermöge

$$\varphi_j = \arg\left(\frac{\Im x_j}{\Re x_j}\right)$$ (43)

und die Amplituden $\hat{R}_j$ nach

$$\hat{R}_j = \left\vert x_j\right\vert$$ (44)

bestimmt. Anhand Gleichung (3.25) erkennt man, dass die Amplituden $\hat{R}_j$ linear mit dem Anregungsdruck $p_a$. Die nun folgenden Gebirgsabbildungen sehen also (wie auch schon vorher beim ungekoppelten Fall) für beliebige Anregungsdruckamplituden $p_a$ identisch aus, lediglich die Höhen müssen linear skaliert werden.

Um nun einen Eindruck zu bekommen, wie die $x_1$-Landschaft aussieht, zeigt Abbildung 3.9 die Amplituden der $\hat{R}_1=\left\vert x_1\right\vert$ der ersten Blase (links) und $\hat{R}_2=\left\vert x_2\right\vert$ der zweiten Blase (rechts) für $\tau = T/100$ und $p_a = 10 \einh{kPa}$. In weiten Gebieten dieser Ebene ist die Amplitude der Schwingung um den Ruheradius $\hat{R}_j$ sehr klein. Auf dem Resonanzradius der jeweiligen Blase jedoch kommt es zu einem extremen Aufschwingen der Blase. Das führt zu Amplituden, die an einigen Stellen sogar größer als der Ruheradius selbst sind. An solchen Punkten gilt also die Annahme einer kleinen Schwingung um $R_{j0}$ nicht mehr, und die Lösungen werden sogar unphysikalisch (negativer Radius). Durch die starke Kopplung kommt es auch zu einer stärkeren Schwingung bei der ersten Blase, wenn die zweite in der Nähe ihres Resonanzradius ist, und umgekehrt im rechten Bild.

Abbildung: Die Amplituden $\hat{R}_1=\left\vert x_1\right\vert$ der ersten Blase (links) und $\hat{R}_2=\left\vert x_2\right\vert$ der zweiten Blase (rechts) in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene bei einem Delay von $\tau = T/100$ und $p_a = 10 \einh{kPa}$. Man sieht, dass sich die Blasen an ihrer Resonanz leicht auf das doppelte ihres Ruheradius aufziehen. Dort gilt also die gemachte Annahme nicht mehr, dass die Blase mit kleiner Amplitude um ihren Ruheradius schwingt. Es zeigt sich (vgl. Abb. 3.13), dass die Bjerkneskräfte wesentlich durch diese Größen $\hat{R}_j$ bestimmt werden.

Abbildung: Die Amplituden $\hat{R}_1=\left\vert x_1\right\vert$ der ersten Blase (links) und $\hat{R}_2=\left\vert x_2\right\vert$ der zweiten Blase (rechts) in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene bei einem Delay von $\tau =T/50$. Das kreuzförmige Muster aus Abb. 3.9 schließt sich mehr zur Mitte. Die Maxima verschmelzen zu einem Kamm.

Im Falle von kleinem Delay (Abbildungen 3.9 und 3.10) ergibt sich für $\hat{R}_j$ ein kreuzförmiges Muster mit verschiedenen Maxima. Interessanterweise gibt es gerade dann, wenn beide Blasen auf Resonanzgröße sind, keine starken Schwingungen, sondern eine Art ,,destruktive Interferenz`` von Anregungs- und Kopplungsdruck (man beachte die unterschiedlichen Vorzeichen in Gleichung (3.21), rechte Seite). Für größeres Delay, und damit mit abnehmender Kopplung, zeigen die folgenden Abbildungen (3.11 bis 3.12) lediglich den vom ungekoppelten Fall her zu erwartenden Kamm beim Resonanzradius der jeweiligen Blase mit einem Einschnitt, wenn auch die andere Blase ihren Resonanzruheradius hat. Dies kommt durch die erwähnte Interferenz.

Abbildung: Die Amplituden $\hat{R}_1=\left\vert x_1\right\vert$ der ersten Blase (links) und $\hat{R}_2=\left\vert x_2\right\vert$ der zweiten Blase (rechts) in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene bei einem Delay von $\tau = T/10$ und einem Anregungsdruck $p_a = 10 \einh{kPa}$. Die Kopplung der Blasen hat schon so weit abgenommen, dass im Wesentlichen ein Kammmuster zu sehen ist, bei dem die Blase an ihrer Resonanz auf etwa $2\cdot R_{j0}$ aufschwingt. Für geringere Drücke ergibt sich aber keine andere Geometrie, da die Amplitude der Schwingung linear mit $p_a$ skaliert.

Wie die letzte Abbildung, Abb. 3.12 zeigt, wird auch der Einschnitt beim Resonanzradius der benachbarten Blase mit zunehmenden Abstand immer weiter geglättet. Für großes Delay erhält man ein beinahe reines Resonanzverhalten, ohne nennenswerten Einfluss der Kopplung.

Abbildung: Die Amplituden $\hat{R}_1=\left\vert x_1\right\vert$ der ersten Blase (links) und $\hat{R}_2=\left\vert x_2\right\vert$ der zweiten Blase (rechts) in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene bei einem Delay von $\tau = T/2$. Die Amplitude der Schwingung um den Ruheradius zeigt ein beinahe reines Resonanzverhalten, ohne nennenswerten Einfluss der Kopplung.