Ergebnisse

Es wird ein Anregungsdruck von $10\einh{kPa}$ betrachtet, bei dem die lineare Näherung über weite Strecken noch gut gerechtfertigt sein sollte. Dieser Wert ist aber bereits ein Grenzfall, wie in Abschnitt 5 gezeigt wird. Bei sehr kleinem Delay (Abbildung 3.1) ist die Bjerkneskraft nach dem linearisierten, ungekoppelten Modell, $F_{bj,lin}$, für den Fall, dass beide Blasen entweder kleiner oder größer als ihr Resonanzradius sind, anziehend. Umgekehrt stoßen sie sich ab, wenn eine kleiner, die andere aber größer ist. Das ist das Verhalten, das man von ungekoppelten linear schwingenden Blasen erwartet. Das Delay hat hier also keinen nennenswerten Einfluss auf das Vorzeichen der sekundären Bjerkneskraft. Außer in direkter Nähe der linearen Resonanz lassen sich Die Indizes der Blasen austauschen, die Kraft der zweiten Blase auf die erste ist gerade entgegengesetzt gleich der ersten auf die zweite.

Abbildung: Links: sekundäre Bjerkneskräfte $\vec{F}_{b12,lin}^{\tau}$ in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene für das linearisierte Modell ohne Kopplung bei $\tau = T/100$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 0.75 \einh{mm}$. Anregung dabei: Druck $p_a = 10 \einh{kPa}$ und Frequenz $\nu=20\einh{kHz}$. Rechts: Das Vorzeichen der Bjerkneskräfte. Schwarz bedeutet anziehende, weiß abstoßende Kräfte der ersten auf die zweite Blase. Das Ergebnis stimmt mit der bekannten linearen Theorie überein: sind beide Blasen kleiner oder größer als ihr linearer Resonanzradius, ziehen sie sich an, sonst stoßen sie sich ab.

In den folgenden Abbildungen 3.2 bis 3.8 wird das Delay bei einem weiterhin konstanten Anregungsdruck von $p_a = 10 \einh{kPa}$ von $\tau = T/10$ (noch klein) auf $\tau = T/2$ (Maximalwert) erhöht. Der Betrag der Bjerkneskraft nimmt mit zunehmendem Abstand immer weiter ab bis zu wenigen $\einh{\mu N}$ bei $\tau = T/2$. Das ist auch zu erwarten, da die Kraft ja in Gleichung (3.17) mit $1/d^2$ skaliert und $d=c\cdot\tau$ gilt.. Zu beachten ist bei all diesen Abbildungen, dass die Extrema in den Abbildungen nicht notwendig die absoluten Extremwerte der sekundären Bjerkneskraft sind, denn die Werte wurden auf einem festen Raster bestimmt, so dass es nicht gewährleistet ist, Minima oder Maxima exakt zu treffen, die sich aber auch nicht immens von den angezeigten unterscheiden sollten

Abbildung 3.2: Sekundäre Bjerkneskraft und Vorzeichen wie in Abbildung 3.1 bei $\tau = T/10$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 7.5 \einh{mm}$. In der Mitte wird der beginnende Symmetriebruch sichtbar.

In Abbildung 3.2 ist bei $\tau = T/10$ gegenüber Abbildung 3.1 noch kein großer Unterschied bezüglich der Vorzeichen zu erkennen. Der Betrag der Kräfte hat bedeutend abgenommen, das Schachbrettmuster der Vorzeichenverteilung hat sich kaum geändert. Lediglich am Berührungspunkt aller Felder in der Mitte kann man erkennen, dass sich die abstoßenden Bereiche etwas voneinander entfernt haben. Dieser erkennbare Symmetriebruch rührt vom größeren Delay. In Gleichung (3.17) stehen im Argument des Kosinus nicht mehr nur die Phasenwinkel der Blasenschwingungen zur Anregung, sondern zusätzlich noch eine weitere Phase durch das Delay. Somit lassen sich die Indizes in dieser Gleichung nicht mehr ohne weiteres vertauschen. Die Symmetrie wird sichtbar gebrochen, sobald $\tau$ groß genug ist, dass es im Argument eine Rolle spielt und nicht mehr gilt $\cos(\varphi_1-\varphi_2-\omega\tau) \approx\cos(\varphi_1-\varphi_2)$.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft und Vorzeichen wie in Abbildung 3.1 bei $\tau = T/5$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 15 \einh{mm}$. Die abstoßenden Bereiche entfernen sich zunächst langsam voneinander.

Dieser Trend setzt sich in Abbildung 3.3 weiter fort. Doch trotz der recht großen Änderung in $\tau$ von $T/10$ auf $T/5$, also einer Verdopplung des Blasenabstandes von $d = 7.5 \einh{mm}$ auf $d = 15 \einh{mm}$, ist die Änderung im Vorzeichenbild noch sehr gering. Im Bereich um $\tau =T/4$ ändert es sich hingegen sehr schnell. Abbildung 3.4 zeigt bei $\tau = T/4.1$ die Tendenz der Änderungen deutlich: der linke obere abstoßende Bereich, wenn die erste Blase kleiner als ihr Resonanzradius, die zweite hingegen größer ist, zieht sich immer weiter zurück, während sich der untere Bereich für die entsprechend umgedrehten Resonanzradiusverhältnisse aufweitet. Die ursprüngliche Symmetrie ist hier schon kaum noch zu erkennen.

Abbildung 3.4: Sekundäre Bjerkneskraft und Vorzeichen wie in Abbildung 3.1 bei $\tau = T/4.1$, entspricht einem Blasenabstand von $d\approx 18.29 \einh{mm}$. Im Bereich um $\tau =T/4$ ändern sich die Vorzeichen sehr schnell.

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskraft und Vorzeichen wie in Abbildung 3.1 bei $\tau =T/4$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 18.75 \einh{mm}$. Eine große Blase $R_{20} > R_{10}$ wird von der kleinen angezogen. Eine kleine Blase wird von der großen jedoch abgestoßen.

In Abbildung 3.5 schließlich ist bei $\tau =T/4$ der linke, obere anziehende Bereich ganz aus dem dargestellten Ausschnitt der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene verschwunden und der rechte, untere abstoßende Bereich so gewachsen, dass die $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene durch die Winkelhalbierende geteilt wird. Damit ist die sekundäre Bjerkneskraft anziehend, wenn die 2. Blase einen größeren Ruheradius hat als die erste. Da hier ja die Kraft der ersten auf die zweite Blase dargestellt wird, lässt sich dieses Ergebnis folgendermaßen interpretieren: Eine große zweite Blase wird von einer kleineren ersten Blase angezogen, während aber umgekehrt die kleinere erste Blase von der großen zweiten abgestoßen wird. Somit ergibt sich die Situation in Abbildung 3.6: Ohne weitere äußere Kräfte wie die primäre Bjerkneskraft setzen sich die Blasen nur aufgrund der sekundären Bjerkneskraft in dieselbe Richtung in Bewegung. Ein solches Ergebnis ist bemerkenswert, da sich dieses Verhalten ohne Delay bei den gemachten Annahmen nicht voraussagen lässt. In dem Fall gilt ja eine Symmetrie bezüglich der Vertauschung der Indizes und somit stoßen sich die Blasen immer gegenseitig ab oder aber ziehen sich gegenseitig an [vgl. Gl. (2.13)]. Hier wirkt jedoch die größere abstoßend und die kleinere anziehend, so dass sich auch in jedem Fall der Schwerpunkt beider Blasen bewegt. Dieses widerspricht nicht der Impuls- oder Energieerhaltung, da beides mit dem anregenden Schallfeld ausgetauscht werden kann. Die relative Position der beiden Blasen zueinander kann sich natürlich trotzdem verändern - das hängt von der absoluten Größe der Bjerkneskräfte (primäre und sekundäre) sowie Reibungs- und Trägheitskräften ab. Solche Blasenpaare lassen sich übrigens immer finden, sobald die Austauschsymmetrie der Indizes (also der Ruheradien) bezüglich des Vorzeichens verletzt ist, also im Prinzip bereits bei $\tau\neq 0$, in Abbildung 3.1. Bei $\tau =T/4$ ist die Symmetrie in diesem Sinne maximal gebrochen, da sich keine Blasenpaare mehr gegenseitig abstoßen oder gegenseitig anziehen. Nur zwischen gleichgroßen Blasen wirkt gar keine Kraft:

$$F_{b12,lin}^{\tau=T/4} = 0\quad \text{f\uml {u}r}\quad R_{10}=R_{20}.$$

Abbildung: Sekundäre Bjerkneskräfte bei $\tau =T/4$ für zwei verschieden große Blasen. Sie zeigen in dieselbe Richtung.

Wie aus der Gleichung (3.17) zu erwarten ist (Verschiebung des Kosinus um seine halbe Periodenlänge), kehrt sich diese Sequenz von $\tau =T/4$ bis $\tau = T/2$ genau um, bis in Abbildung 3.8 das inverse Vorzeichenbild von Abbildung 3.1 zu sehen ist. Eine weitere Erhöhung des Delays würde die Vorzeichenmuster aus den Abbildungen 3.1 bis 3.8 mit jeweils Schwarz und Weiß vertauscht hervorbringen.

Die Einführung eines Delays lässt bereits bei einer Linearisierung des Keller-Miksis-Modells und ohne eine gegenseitige Kopplung der Blasen eine neue Aussage zu, die ohne das Delay nicht möglich ist: Ein Bruch der Symmetrie der sekundären Bjerkneskraft in der $R_{10}$-$R_{20}$-Ebene, der in einer Kraft resultiert, die zwei Blasen in eine Richtung bewegt. Dies tritt bei der betrachteten Anregungsfrequenz jedoch erst bei sehr großem Blasenabstand auf, so dass der Betrag dieser Kraft, der ja mit $1/d^2$ abfällt, nicht sehr groß ist und ihr Einfluss unter Umständen nicht sehr relevant für die Dynamik ist.

Abbildung 3.7: Bjerkneskraft und Vorzeichen wie in Abbildung 3.1 bei $\tau = T/3$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 25 \einh{mm}$.

Abbildung 3.8: Bjerkneskraft und Vorzeichen wie in Abbildung 3.1 bei $\tau = T/2$, entspricht einem Blasenabstand von $d = 37.5 \einh{mm}$. Inverses Vorzeichenbild gegenüber Abb. 3.1. Die gesamte Vorzeichenmusterfolge von $\tau =0$ bis $\tau =T$, von der hier die erste Hälfte gezeigt wurde, da die zweite Hälfte das entsprechende Verhalten mit umgedrehten Vorzeichen zeigt, wiederholt sich für höhere $\tau$ mit der Periodenlänge $T$.