Keller-Miksis-Modell

Ausgehend von der in [29] verwendeten Gleichung für die Dynamik der zweiten von zwei gekoppelten Kavitationsblasen,

$$\left(1-\frac{\dot{R}_2}{c}\right)R_2\ddot{R}_2 + \left(\frac{3}{2} - \frac{\dot{R}_2}{2c}\right)\dot{R}_2^2 = \frac{1}{\rho}\left(1+\frac{\dot{R}_2}{c}\right) \left[p_{2w}-p_{st}-p_{ex}\right]$$

$$+ \frac{R_2}{\rho c} \ddt\left[p_{2w} - p_{ex}\right]$$

$$- \frac{1}{d}\left(2\dot{R}_1^2R_1 + R_1^2\ddot{R}_1\right)$$ (12)

mit

$$p_{2w} = \left(p_{st}+\frac{2\sigma}{R_{20}}\right) \left(\f... ...ght)^{3\kappa} -\frac{2\sigma}{R_2}-\frac{4\mu}{R_2}\dot{R}_2,$$

die ihrerseits vom Keller-Miksis-Modell stammt ([18], [29]), erhält man die Gleichung für diese Blase im delay-gekoppelten Fall zu

$$\left(1-\frac{\dot{R}_2}{c}\right)R_2\ddot{R}_2 + \left(\frac{3}{2} - \frac{\dot{R}_2}{2c}\right)\dot{R}_2^2 = \frac{1}{\rho}\left(1+\frac{\dot{R}_2}{c}\right) \left[p_{2w}-p_{st}-p_{ex}\right]$$

$$+ \frac{R_2}{\rho c} \ddt\left[p_{2w} - p_{ex}\right]$$

$$- \frac{1}{d}\left(2 \dot{R}_{1\tau}^2R_{1\tau} + R_{1\tau}^2\ddot{R}_{1\tau}\right).$$ (13)

Die Größen in der Reihenfolge ihres Auftretens sind in Tabelle 2.1 aufgelistet. Die dort angegebenen Parameter orientieren sich am zitierten Kavitationsexperiment in Wasser bei einer $20\einh{kHz}$ Schallanregung.

Tabelle 2.1: Verwendete Symbole, ihre Bedeutung und soweit konstant ihre Werte in dieser Arbeit. Es wurden Normalbedingungen für Wasser und Luftdruck angenommen (die Schallgeschwindigkeit wurde dabei etwas aufgerundet).

Symbol	physikalische Größe	Wert (falls konstant)
$c$	Schallgeschwindigkeit in Wasser	$1500\einh{m/s}$
$\rho$	Dichte von Wasser	$998 \einh{kg/m^3}$
$p_{st}$	Umgebungsdruck	$100\einh{kPa}$
$p_{ex}$	anregender Druck	variabel
$p_a$	Amplitude der Anregung, falls kosinusförmig	variabel
$\sigma$	Oberflächenspannung	$0.0725\einh{N/m}$
$\kappa$	Adiabatenexponent	$1.4$
$\mu$	Viskosität von Wasser	$0.001\einh{kg/(ms)}$
$\nu$	Frequenz der Anregung	$20\einh{kHz}$
$\omega$	Kreisfrequenz der Anregung	$2\pi\cdot\nu$

Durch Einsetzen von $p_{2w}$ und Durchführen der Ableitung erhält man dann für die kosinusförmige Anregung $p_{ex} = p_a \cos(\omega t)$

$$\ddot{R}_1 \left(\left(1-\frac{\dot{R}_1}{c}\right)R_1+\frac{4\mu}{\rho c}\right) = \left(\frac{1}{\rho}+\frac{\dot{R}_1}{c\rho}\right)$$

$$\left[\left(p_{st}+\frac{2\sigma}{R_{10}}\right)\left(\frac{R_{10... ...-\frac{2\sigma}{R_1}-\frac{4\mu\dot{R}_1}{R_1}-p_{st}-p_a \cos(\omega t)\right]$$

$$+ \frac{R_2}{\rho c}\left[\frac{2\sigma\dot{R}_1}{R_1^2}+\frac{4\mu... ...ight) \left(\frac{R_{10}}{R_1}\right)^{3\kappa}+p_a\omega \sin(\omega t)\right]$$

$$- \left(\frac{3}{2}-\frac{\dot{R}_1}{2c}\right)\dot{R}_1^2$$

$$- \frac{1}{d}\left[2\dot{R}_2^2(t-\tau)R_2(t-\tau)+R_2^2(t-\tau)\ddot{R}_2(t-\tau)\right]$$ (14)

für die erste Blase für die zweite:

$$\ddot{R}_2 \left(\left(1-\frac{\dot{R}_2}{c}\right)R_2+\frac{4\mu}{\rho c}\right) = \left(\frac{1}{\rho}+\frac{\dot{R}_2}{c\rho}\right)$$

$$\left[\left(p_{st}+\frac{2\sigma}{R_{20}}\right)\left(\frac{R_{20... ...-\frac{2\sigma}{R_2}-\frac{4\mu\dot{R}_2}{R_2}-p_{st}-p_a \cos(\omega t)\right]$$

$$+ \frac{R_2}{\rho c}\left[\frac{2\sigma\dot{R}_2}{R_2^2}+\frac{4\mu... ...ight) \left(\frac{R_{20}}{R_2}\right)^{3\kappa}+p_a\omega \sin(\omega t)\right]$$

$$- \left(\frac{3}{2}-\frac{\dot{R}_2}{2c}\right)\dot{R}_2^2$$

$$- \frac{1}{d}\left[2\dot{R}_1^2(t-\tau)R_1(t-\tau)+R_1^2(t-\tau)\ddot{R}_1(t-\tau)\right].$$ (15)

Durch Umstellen und Zusammenfassen erhält man eine weniger aufwendige Form (speziell in Hinsicht auf die Numerik [29]):

$$\ddot{R}_1 = \Bigg[\left(1+(1-3\kappa)\frac{\dot{R}_1}{c}\right) \left(\frac{p... ...o}+\frac{2\sigma}{\rho R_{10}}\right) \left(\frac{R_{10}}{R_1}\right)^{3\kappa}$$

$$- \frac{2\sigma}{\rho R_1}-\frac{4\mu}{\rho}\frac{\dot{R}_1}{R_1} -\left(\frac{3}{2}-\frac{\dot{R}_1}{2c}\right)\dot{R}_1$$

$$- \left(1+\frac{\dot{R}_1}{c}\right) \frac{p_{st}+p_a \cos(\omega t)}{\rho}+ R_1\frac{p_a\omega}{\rho c}\sin(\omega t)$$

$$- \frac{1}{d}\left(2\dot{R}_2^2(t-\tau)R_2(t-\tau) +R_2^2(t-\tau)\ddot{R}_2(t-\tau)\right)\Bigg]\times$$

$$\left[\left(1-\frac{\dot{R}_1}{c}\right) +\frac{4\mu}{\rho c}\right]^{-1}$$ (16)

für die erste Blase und entsprechend für die zweite:

$$\ddot{R}_2 = \Bigg[\left(1+(1-3\kappa)\frac{\dot{R}_2}{c}\right) \left(\frac{p... ...o}+\frac{2\sigma}{\rho R_{20}}\right) \left(\frac{R_{20}}{R_2}\right)^{3\kappa}$$

$$- \frac{2\sigma}{\rho R_2}-\frac{4\mu}{\rho}\frac{\dot{R}_2}{R_2} -\left(\frac{3}{2}-\frac{\dot{R}_2}{2c}\right)\dot{R}_2$$

$$- \left(1+\frac{\dot{R}_2}{c}\right) \frac{p_{st}+p_a \cos(\omega t)}{\rho}+ R_2\frac{p_a\omega}{\rho c}\sin(\omega t)$$

$$- \frac{1}{d}\left(2\dot{R}_1^2(t-\tau)R_1(t-\tau) +R_1^2(t-\tau)\ddot{R}_1(t-\tau)\right)\Bigg]\times$$

$$\left[\left(1-\frac{\dot{R}_2}{c}\right) +\frac{4\mu}{\rho c}\right]^{-1}.$$ (17)

Dieses System zweier nichtlinearer, delay-gekoppelter Differentialgleichungen wird in Kapitel 4 untersucht werden, um aus der so gewonnenen Kavitationsblasendynamik die sekundäre Bjerkneskraft zu berechnen.